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Exponentielles Wachstum

Der Begriff 'exponentielles Wachstum' besagt, dass das Wachstum, genauer die Wachstumsrate (Zunahme pro Zeiteinheit) wie z. B. die Bevölkerungszahl oder das Bakterienwachstum von der aktuellen Größe der Population abhängig ist. Mit anderen Worten: Je mehr Individuen bereits vorhanden sind, desto rascher nimmt auch die Gesamtpopulation zu.

 

 

Dies ist eine Differentialgleichung. Das Wesen einer solchen Differentialgleichung besteht darin, dass die Änderung einer bestimmten Größe im Zentrum des Interesses steht und nicht ihr absoluter Wert. In der angeführten Gleichung wird dies durch die Änderungsrate

 

 

zum Ausdruck gebracht. Gelesen wird dies nicht als Bruch sondern als 'dN nach dt' oder - wesentlich anschaulicher, wenn auch mathematisch vielleicht nicht ganz korrekt - in Form von 'die Änderung von N pro Zeiteinheit t'.

 

Und wie bereits eingangs ausgeführt, ist im Falle des exponentiellen Wachstums diese Änderungsrate vom bereits Vorhandenen (N) abhängig. k ist schließlich eine Proportionalitätskonstante.

Lösung einer Differentialgleichung

In praktischer Hinsicht ist jedoch mit dieser Differentialgleichung noch nicht unmittelbar viel anzufangen, ist es doch beispielsweise nicht möglich Zahlen einzusetzen und mit einem gängigen Taschenrechner zu einem Ergebnis zu kommen. Die Differentialgleichung muss zunächst gelöst werden. Dazu stehen grundsätzlich zwei Verfahren zur Verfügung.

Exakte Lösung

Hier wird auf analytischem Wege (durch Umformungsprozeduren) eine exakte Lösung erreicht. In der konkreten Situation ist dies durch 'Separation der Variablen' möglich und hat folgendes Ergebnis:

 

 

Dies ist nichts anderes als eine klassische exponentielle Funktion mit

N(t) ... Anzahl, Population o.ä. zum Zeitpunkt t

N0 ... N zum Zeitpunkt 0, also am Beginn

e ... die Euler´sche Zahl

k ... die bereits in der Differentialgleichung vorkommende Konstante

t ... die Zeit

 

Wenn nun die einzelnen Parameter bekannt sind, kann N für jeden beliebigen Zeitpunkt berechnet werden.

Beispiel Bevölkerungswachstum

Die Bevölkerung der USA belief sich im Jahr 1790 auf 3,9 Millionen und im Jahr 1800 auf 5,3 Millionen. Ausgehend von der Annahme, dass exponentielles Wachstum vorliegt, wie die Lösungsgleichung lauten?

 

Lösung: Da wir von exponentiellem Wachstum ausgehen, können wir die ursprüngliche (aber natürlich dennoch in diesem Fall gültige) Differentialgleichung beiseite lassen und sofort auf die Lösungsgleichung zurückgreifen:

 

 

Hier können unmittelbar die Informationen der Problemstellung eingesetzt werden:

N(t) ... N(10) = 5,3 Millionen ... Die Bevölkerungszahl nach dem Beobachtungszeitraum von 10 Jahren.

N0 = 3,9 Millionen ... Die Bevölkerungszahl am Beginn.

t = 10 Jahre

 

 

Und daraus kann schließlich die Konstante k errechnet werden.

 

 

 

 

Somit lautet die Lösungsgleichung (in Millionen):

 

 

Und damit kann die Bevölkerungszahl für alle (späteren) Zeitpunkte berechnet werden. Für das Jahr 1980 wäre diese ~ 1324 Millionen. Dies entspricht nicht ganz der Wirklichkeit, was zeigt, dass die Annahme exponentiellen Wachstums in diesem Beispiel nicht uneingeschränkt gelten kann. (Aber tatsächlich war es bis 1860 durchaus zutreffend.) [Quelle: http://en.wikipedia.org/wiki/United_States_Census]

 

 

 

Numerische Lösung

Einer exakten analytischen Lösung sich jedoch nur wenige Differentialgleichungen zugänglich, weshalb in allen anderen Situationen ein numerisches Verfahren zur Anwendung kommt, bei dem unter Einsatz von (teilweise sehr erheblicher) Computer-Rechenleistung die wahre Lösung angenähert wird.

 

Dafür ist eine geeignete Software erforderlich; Matlab ist eine der vielfältigen Möglichkeiten.

 

Lösung einer Differentialgleichung mittels Matlab

Zunächst wird im Editor das Differentialgleichungssystem definiert:

 

function dN = populationgrowth(t, N)

k = 0.03067;

dN(1) = k*N(1);

 

Mit 'function' wird eine neue Funktion definiert mit der unabhängigen Variable (t) und abhängigen Variable (N). 'populationgrowth' ist nur der (beliebige) Name der Funktion. Die nächste Zeile definiert die Konstante k. Und schließlich folgt die eigentliche Differentialgleichung, wobei einige Besonderheiten zu beachten sind: Der dt-Teil links des Gleichheitszeichens wird in Matlab nicht angeführt. Das auf N folgende Suffix (1) definiert nicht einen Zeitpunkt t sondern ist Teil der Variablenbezeichnung.

Der Strichpunkt ; am Ende der Zeile weist Matlab an, das Ergebnis nicht unmittelbar anzuzeigen.

 

Nach dem Speichern dieser drei Zeilen im Editor kann schließlich im Command Window von Matlab die Gleichung gelöst werden. Der dazu erforderliche Befehl mutet kompliziert an, doch die einzelnen Bestandteile haben jeweils eine besondere Bedeutung:

 

[t, N] = ode45('populationgrowth', [0 200], [3.9]);

 

In Worten: Löse die Funktion [t, N] mit der Bezeichnung 'populationgrowth' unter Verwendung des Verfahrens ode45 (ode steht für ordinary differential equation, ode45 ist eines von vielen speziellen Lösungsverfahren). [0 200] ist ein Vektor, der angibt, die Lösung zwischen den Zeitpunkten 0 und 200 zu berechnen. Und zuletzt [3.9] ist der Anfangswert dieses Beispiels.

 

Doch zunächst passiert in Matlab noch nichts (Sichtbares); es bedarf noch der Ausgabe, hier in graphischer Form:

 

plot(t, N);

 

Damit öffnet sich ein neues Fenster mit dem graphisch dargestellten Ergebnis. Verfeinerungen sind noch möglich:

 

plot(t, N), xlabel('Jahre ab 1790'), ylabel('Millionen');

 

 

Wie einfach nachvollziehbar ist, kann exponentielles Wachstum nicht aufrecht erhalten werden, insbesondere nicht, wenn es sich um Populationen handelt (Menschen, Bakterien), da die für das Wachstum erforderlichen Ressourcen nicht in gleichem (unbeschränktem) Maße zur Verfügung stehen. Eine realistischere Darstellung von limitierten Wachstumsprozessen bietet dagegen das logistische Wachstum.

 

 


Kategorie: Modelling

 

Letzte Änderung: 06.11.2008