Hauptseite

Kategorien

Alphabetische Liste

Themenportale

Neue Beiträge

criticalcare.at

Logistisches Wachstum

Aufgrund von endlichen Ressourcen ist exponentielles Wachstum nur für kurze Zeit möglich. Die Zuwachsrate einer Population nimmt im Laufe der Zeit ab, und die Population strebt insgesamt einer maximalen Anzahl an Individuen zu. Ein solcher Vorgang wird als logistisches Wachstum bezeichnet und geht (in Hinblick auf Populationsentwicklungen) auf Pierre-François Verhulst zurück. Seine Differentialgleichung lautet:

 

 

Dabei ist N die Anzahl der Individuen, k die Wachstumskonstante und Nmax die maximale Anzahl der Individuen (auch bezeichnet als carrying capacity). Die Differentialgleichung kann nun so interpretiert werden, dass der Ausdruck in der Klammer die Wachstumskonstante modifiziert, und zwar in linearer Abhängigkeit vom zunehmenden N. Erreicht N schließlich den Maximalwert (Nmax) , so wird der Ausdruck in der Klammer und damit auch insgesamt das Wachstum 0.

 

Lösung in Matlab

Mit den Werten k = 0,25 und Nmax = 100.

 

function dN = LogisticGrowth(t, N)

k = 0.25;

Nmax = 100;

dN(1) = k*N(1)*(1-N(1)/Nmax);

 

Speichern unter 'LogisticGrowth' und ausführen im Command Window mit

 

[t, N] = ode45('LogisticGrowth', [0 50], [1]);

 

und anzeigen mit

 

plot(t, N);

 

 

Direkter Vergleich mit exponentiellem Wachstum

Hier soll in einem Diagramm das logistische mit dem exponentiellen Wachstum (mit gleicher Konstante k) dargestellt werden.

 

function dN = LogisticGrowth(t, N)

dN = zeros(2, 1);

k = 0.25;

Nmax = 100;

dN(1) = k*N(1)*(1-N(1)/Nmax);

dN(2) = k*N(2);

 

Da nun zwei Funktionen gleichzeitig betrachtet werden, ist es in Matlab erforderlich, mit dem Befehl dN = zeros(2, 1); eine Matrix mit 2 Zeilen (und 1 Spalte) explizit anzulegen.

 

Ausführen wieder mit

 

[t, N] = ode45('LogisticGrowth', [0 10], [1 1]);

 

wobei jedoch die Laufzeit auf 10 reduziert wird [0 10], und weiters ein zusätzlicher Anfangswert für die zweite Funktion anzugeben ist [1 1].

 

Es zeigt sich, dass am Beginn die beiden Kurven praktisch übereinstimmen, jedoch nach (in diesem Beispiel) rund 5 Zeiteinheiten beginnt das logistische Wachstums langsamer zu verlaufen als das exponentielle.

 

 


Kategorie: Modelling

 

Letzte Änderung: 06.11.2008