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Schwingung

Hinweis: Einige der hier verwendeten griechischen Buchstaben werden eventuell im Mozilla Firefox nicht korrekt dargestellt. Keine Probleme sollten bei Verwendung des Internet Explorers auftreten.

 

Eine Schwingung (Oszillation) ist eine sich wiederholende Änderung einer Größe typischerweise im Zeitverlauf. Eine Sinusschwingung ist der typische Vertreter (auch bezeichnet als harmonische Schwingung):

Harmonische Schwingung

Die Veränderung des Werts y im Verlauf der Zeit t wird in diesem Fall durch eine Sinusfunktion beschrieben.

 

 

A ... Amplitude (maximale Auslenkung)

w ... Kreisfrequenz (gesprochen: Omega)

j ... Phase (gesprochen: Phi)

 

Die Kreisfrequenz ist gegeben durch:

 

 

 

p ... Kreiszahl Pi

f ... Frequenz (Anzahl der Schwingungen pro Zeiteinheit)

T ... Schwingungsdauer

 

Nachfolgend ein Beispiel einer Sinusschwingung mit der Amplitude A = 1, der Frequenz f = 1 und der Phase j = 0

 

 

Umsetzung in Matlab

Zunächst wird ein Zeitvektor erzeugt. Viele Möglichkeiten stehen dafür zur Verfügung, beispielsweise

 

t = linspace (0, 2, 1000);

 

Hier generiert der Befehl linspace zwischen 0 und 2 insgesamt 1000 Zahlenwerte.

 

Zuweisung der weiteren Konstanten (wie hier angedeutet können auch mehrere Parameter in einer Matlab-Zeile definiert werden):

 

A = 1; f = 1;

 

Und schließlich die eigentliche Funktion (pi ist eine 'fixe' Konstante in Matlab):

 

y = A*sin(2*pi*f*t);

 

Graphische Ausgabe mit:

 

plot (t, y), grid on, xlabel ('Zeit t'), ylabel ('y bzw. Amplitude A');

 

Charakteristisch für die Sinusschwingung ist, dass zum Zeitpunkt 0 der Funktionswert ebenfalls 0 beträgt (sofern keine Verschiebung der Phase vorliegt). Aufgrund der in diesem Beispiel angenommenen Frequenz von 1 durchläuft die Schwingung innerhalb von 1 Zeiteinheit ebenfalls 1 Zyklus; die maximale Auslenkung (Amplitude A bzw. Funktionswert y) beträgt 1.

 

Gedämpfte Schwingung

Häufig währt jedoch eine Schwingung nicht unbegrenzt, sondern ihre Amplitude nimmt mit der Zeit ab. Dies kann beschrieben werden, indem die Amplitude A mit einem im Verlauf der Zeit exponentiell abnehmenden Term versehen wird.

 

 

T ... Abklingdauer (jedoch nicht die Schwingungsdauer; Zeit bis zur Abnahme der Amplitude auf den e-ten Teil (0,368).

 

Oder mit der Exponentialfunktion in eventuell gewohnterer Form

 

 

mit

 

Beispiel in Matlab

Mit den Parametern Amplitude A = 1, Frequenz f = 5, Abklingdauer T = 0,5 und Phase j = 0.

 

t = linspace (0, 2, 1000); A = 1; f = 5; T = 0.5;

y = A.*exp(-t/T).*sin(2*pi*f*t);

y1 = exp(-t/T);

plot (t, y, t, y1), grid on, xlabel ('Zeit t'), ylabel ('y bzw. Amplitude A');

 

Zu beachten ist, dass in der Berechnung von y eine elementweise Multiplikation durchgeführt wird (gekennzeichnet durch den vorangestellten Punkt .* ). Die exponentielle Funktion y1 ist zur Veranschaulichung ebenfalls dargestellt.

 

 

 

Literatur

Papula L. Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Band 1. Vieweg 2001

 


Kategorie: Modelling

 

Letzte Änderung: 18.11.2008