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Elimination erster Ordnung

Definition

Verläuft die Elimination eines Pharmakons proportional zur im Organismus (noch) vorhandenen Menge des Pharmakons, wird dies als eine Elimination erster Ordnung bezeichnet. (Dies entspricht gleichzeitig dem Prinzip des radioaktiven Zerfalls.)

Eine mathematische Beschreibung ist durch folgende Beziehung möglich:

 

 

 

mit den Variablen

c(t) ... Konzentration zum Zeitpunkt t

c0 ... Anfangskonzentration

e ... Basis des natürlichen Logarithmus

k ... Eliminationskonstante

t ... Zeitpunkt


Ist die Eliminationskonstante k bekannt, kann somit für jeden Zeitpunkt t die noch vorhandene Substanzmenge berechnet werden.

Umgekehrt kann bei noch unbekannter Eliminationskonstante k nach experimenteller Datenerhebung – bei angenommener Elimination erster Ordnung – aus der Anfangskonzentration c0 und der Konzentration c(t), also zum Zeitpunkt t, die Eliminationskonstante k berechnet werden.


 

Halbwertszeit

Oftmals ist jedoch die Angabe der entsprechenden Halbwertszeit (HWZ) anschaulicher: Die Halbwertszeit ist jene Zeitspanne, nach der nur noch die Hälfte der Anfangskonzentration vorliegt. Nach zwei Halbwertszeiten ist nur noch ein Viertel der Anfangskonzentration vorhanden, nach drei ein Achtel usw. In biologischen Zusammenhängen kann davon ausgegangen werden, dass nach 4 bis 5 Halbwertszeiten eine Substanz praktisch vollständig eliminiert ist. Somit ist die Halbwertszeit ein Maß für die Verweildauer eines Pharmakons im Organismus.

Die Berechnung kann aus der Eliminationskonstante k erfolgen:


 

Herleitung für Mathematik-Interessierte

Ausgangspunkt ist eine Differentialgleichung, die aussagt, dass die Änderung der Konzentration pro Zeiteinheit dc/dt proportional der (noch) vorhandenen Konzentration c und einer Konstante k ist. Letztere besitzt ein negatives Vorzeichen, womit festgelegt ist, dass es sich im Verlauf um eine Konzentrationsabnahme handelt. Bei positivem Vorzeichen liegt exponentielles Wachstum vor.

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Dies ist eine Differentialgleichung, die – im Gegensatz zu vielen anderen Differentialgleichungen – exakt gelöst werden kann. Der Weg ist für Mathematiker wohl trivial (Integration durch Variablentrennung), für Nicht-Mathematiker vielmehr beschwerlich. Das Ergebnis ist letztlich (siehe auch oben):

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Herleitung der Eliminationskonstante k

Aus der Eliminationsgleichung

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erhält man durch Division durch c0

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logarithmieren ergibt

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und schließlich nach Division durch -t

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Herleitung der Halbwertszeit (HWZ)

Ausgangspunkt ist wieder die Eliminationsgleichung

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Nach einer HWZ, also t = HWZ, liegt nur noch die Hälfte der Anfangskonzentration, 1/2 c0, vor. Eingesetzt in die obige Gleichung ergibt dies

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Division durch c0 bringt diesen Term zum Verschwinden

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logarithmieren ergibt

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nach den Rechenregeln für Logarithmen folgt

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und nachdem der natürliche Logarithmus von 1 gleich 0 ist

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ergibt schließlich umformen

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Berechnung der Halbwertszeit unter Umgehung von k

Durch Einsetzen der Gleichung zur Berechnung von k kann die Halbwertszeit (HWZ) direkt berechnet werden:

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Siehe auch

Fraktionelle Abbaurate

 


Kategorie: Pharmakologie

 

Letzte Änderung: 05.06.2008